Un atlas topologique sur le cercle

1. $\varphi_{+}$ est un homéomorphisme entre $U_{+}$ et $]-1,1[$. En effet : c’est une application continue ; elle est surjective ; l’injectivité vient du fait qu’à un $x\in]-1,1[$, il existe un unique $y>0$ tel que $(x,y)$ appartient au cercle.
   Finalement, il faut montrer que la réciproque de $\varphi_{+}$ est continue, ce qui est généralement le point délicat. Ici heureusement, la réciproque peut facilement se trouver :
   $$\varphi_{+}^{-1}(x)=\left(x,\sqrt{1-x^{2}}\right)$$qui est continue.

Par le même argument, $\varphi_{-}$ est un homéomorphisme entre $U_{-}$ et $]-1,1[$.

Ainsi, $(U_{+},\varphi_{+})$ et $(U_{-},\varphi_{-})$ sont des cartes locales sur $S^{1}$.

2. La famille $\mathcal{A}$ n’est pas un atlas topologique, puisque ces ouverts ne recouvrent pas tout à fait tout le cercle (les points $(1,0)$ et $(-1,0)$ n’appartiennent ni à $U_{+}$, ni à $U_{-}$).

On pourrait par exemple compléter la famille par les ouverts suivants :
$$V_{+}=\{(x,y)\in S^{1}\mid x>0\}\quad \text{et} \quad V_{-}=\{(x,y)\in S^{1}\mid x<0\}$$avec les homéomorphismes $\psi_{\pm}:V_{\pm}\to ]-1,1[$ définis comme $(x,y)\mapsto y$.
On aurait alors un atlas topologique de $S^{1}$.