Un atlas topologique sur le cercle

On considère le cercle unité $S^{1}=\{(x,y)\in \R^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\}$ muni de la topologie induite.

Soient $U_{+}=\{(x,y)\in S^{1}\mid y>0\}$ et $U_{-}=\{(x,y)\in S^{1}\mid y<0\}$ les demi-cercles supérieur et inférieur.
Sur ces ouverts, on pose $\varphi_{\pm}:U_{\pm}\to ]-1,1[$ définies comme $(x,y)\mapsto x$ .

Montrer que $(U_{+},\varphi_{+})$ et $(U_{-},\varphi_{-})$ sont des cartes locales sur $S^{1}$ .
La famille
$\mathcal{A}=\{(U_+,\varphi_+),(U_-,\varphi_-)\}$ est-elle un atlas topologique sur $S^{1}$ ? Si non, comment la compléter pour qu’elle le devienne ?

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Solution by Ancient Tree

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$\varphi_{+}$ est un homéomorphisme entre $U_{+}$ et $]-1,1[$ . En effet : c’est une application continue ; elle est surjective ; l’injectivité vient du fait qu’à un $x\in]-1,1[$ , il existe un unique $y>0$ tel que $(x,y)$ appartient au cercle.
Finalement, il faut montrer que la réciproque de $\varphi_{+}$ est continue, ce qui est généralement le point délicat. Ici heureusement, la réciproque peut facilement se trouver :
$\varphi_{+}^{-1}(x)=\left(x,\sqrt{1-x^{2}}\right)$ qui est continue.

Par le même argument, $\varphi_{-}$ est un homéomorphisme entre $U_{-}$ et $]-1,1[$ .

Ainsi, $(U_{+},\varphi_{+})$ et $(U_{-},\varphi_{-})$ sont des cartes locales sur $S^{1}$ .

La famille $\mathcal{A}$ n’est pas un atlas topologique, puisque ces ouverts ne recouvrent pas tout à fait tout le cercle (les points $(1,0)$ et $(-1,0)$ n’appartiennent ni à $U_{+}$ , ni à $U_{-}$ ).

On pourrait par exemple compléter la famille par les ouverts suivants :
$V_{+}=\{(x,y)\in S^{1}\mid x>0\}\quad \text{et} \quad V_{-}=\{(x,y)\in S^{1}\mid x<0\}$ avec les homéomorphismes $\psi_{\pm}:V_{\pm}\to ]-1,1[$ définis comme $(x,y)\mapsto y$ .
On aurait alors un atlas topologique de $S^{1}$ .

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