Atlas topologique

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Intuition

Un atlas topologique est un ensemble de cartes locales permettant de décrire la totalité d’un espace, à l’aide de coordonnées euclidiennes. Chaque carte décrit une région de l’espace, et l’ensemble des cartes recouvre tout l’espace.

Diagramme coloré avec sphère et flèches
Un atlas topologique de la sphère avec deux cartes : les hémisphères nord et sud (légèrement élargis pour qu’ils recouvrent aussi l’équateur), sont chacun homéomorphes à un disque ouvert de $\mathbb{R}^{2}$ .

Définition formelle

Soit $M$ un espace topologique. Un atlas topologique sur $M$ est une famille de cartes locales de dimension $n$
$\mathcal{A}=\{(O_{i},\varphi_{i})\}_{i\in I}$ formant un recouvrement de $M$ , c’est-à-dire que
$M=\bigcup_{i\in I}O_{i}.$

Remarques

Un espace topologique admettant un atlas topologique est dit localement euclidien.
Il s’agit d’une condition nécessaire pour être une variété topologique.

Practice this concept with exercises

On considère le cercle unité $S^{1}=\{(x,y)\in \R^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\}$ muni de la topologie induite.

Soient $U_{+}=\{(x,y)\in S^{1}\mid y>0\}$ et $U_{-}=\{(x,y)\in S^{1}\mid y<0\}$ les demi-cercles supérieur et inférieur.
Sur ces ouverts, on pose $\varphi_{\pm}:U_{\pm}\to ]-1,1[$ définies comme $(x,y)\mapsto x$ .
1. Montrer que $(U_{+},\varphi_{+})$ et $(U_{-},\varphi_{-})$ sont des cartes locales sur $S^{1}$ .
2. La famille
  $\mathcal{A}=\{(U_+,\varphi_+),(U_-,\varphi_-)\}$ est-elle un atlas topologique sur $S^{1}$ ? Si non, comment la compléter pour qu’elle le devienne ?
Open exercise

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