Atlas différentiable

Intuition

Un atlas lisse est un atlas topologique dont les fonctions de transition sont lisses.

Cette condition permet de faire de l’analyse sur une variété indépendamment du choix des coordonnées locales. En effet, elle garantit qu’une fonction lisse dans une carte le reste dans toute autre carte de l’atlas.

Définition formelle

Soit $M$ une variété topologique. Un atlas différentiable de classe $C^{k}$ (ou lisse quand le contexte est clair) sur $M$ est un atlas topologique
$$\mathcal A=\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in I}$$tel que, pour tous $i,j\in I$ vérifiant $U_i\cap U_j\neq\varnothing$, la fonction de transition
$$\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}:\varphi_i(U_i\cap U_j)\to\varphi_j(U_i\cap U_j)$$est de classe $C^k$.