Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Differential equationReviewed

Un café maintenant, des regrets plus tard

by Nugget·
24
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Français
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Un ingénieur fatigué travaille tard sur un projet et boit à midi un café contenant 200200 mg de caféine. Il aimerait pouvoir s’endormir à 23:0023{:}00.

On fait les hypothèses simplificatrices suivantes :

  • la quantité de caféine présente dans l’organisme diminue à une vitesse proportionnelle à la quantité présente à cet instant ;
  • la constante de proportionnalité reste constante au cours du temps ;
  • aucune autre source de caféine n’est consommée ;
  • la caféine est absorbée instantanément ;
  • on suppose que le sommeil n’est plus significativement affecté lorsque la quantité de caféine dans l’organisme devient inférieure à 5050 mg ;
  • la demi-vie de la caféine est de 55 heures.

On note C(t)C(t) la quantité de caféine, en milligrammes, présente dans l’organisme de l’ingénieur tt heures après avoir bu le café.

  1. Expliquer pourquoi CC peut être modélisée par une équation différentielle de la forme
    C′(t)=−kC(t),C'(t)=-kC(t),où k>0k>0.

  2. Résoudre cette équation différentielle et montrer que
    C(t)=C0e−kt.C(t)=C_0e^{-kt}.

  3. À l’aide de la condition initiale, déterminer C0C_0.

  4. En utilisant la demi-vie de la caféine, déterminer la constante kk.

  5. Déterminer au bout de combien de temps la quantité de caféine dans l’organisme devient inférieure à 5050 mg.

  6. À quelle heure ce seuil est-il atteint ?

  7. Le lendemain, l’ingénieur prévoit de se coucher à 23:0023{:}00. Quelle est l’heure la plus tardive à laquelle il pourrait boire le même café afin que le modèle prévoie moins de 5050 mg de caféine dans son organisme au moment du coucher ?

  8. L’ingénieur est toujours fatigué et envisage de boire un second café identique à 16:0016{:}00. En supposant que les effets des deux cafés s’additionnent, déterminer si le seuil de 5050 mg sera atteint avant 23:0023{:}00.

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Solutions

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Solution by NuggetEN

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Let C(t)C(t) denote the amount of caffeine, in milligrams, present in the engineer’s body tt hours after drinking the coffee.

  1. Since the rate at which caffeine is eliminated is assumed to be proportional to the amount currently present in the body, we have
    C′(t)=−kC(t),C'(t)=-kC(t),where k>0k>0. The negative sign indicates that the amount of caffeine decreases over time.

  2. Separating variables gives
    dCC=−k dt.\frac{dC}{C}=-k\,dt.Integrating,
    ln⁡C=−kt+c,\ln C=-kt+c,

C(t)=C0e−kt,C(t)=C_0e^{-kt},where C0>0C_0>0 is a constant.

  1. Immediately after drinking the coffee, the engineer has 200200 mg of caffeine in their body. Hence
    C(0)=200.C(0)=200.Since
    C(0)=C0,C(0)=C_0,we obtain
    C0=200.C_0=200.Thus
    C(t)=200e−kt.C(t)=200e^{-kt}.

  2. The half-life is 55 hours, so after 55 hours the amount of caffeine has been divided by two:
    C(5)=100.C(5)=100.Therefore
    100=200e−5k,100=200e^{-5k},so
    e−5k=12.e^{-5k}=\frac12.Taking logarithms,
    −5k=ln⁡(12)=−ln⁡2,-5k=\ln\left(\frac12\right)=-\ln 2,and hence
    k=ln⁡25.\boxed{k=\frac{\ln 2}{5}}.

The model is therefore
C(t)=200e−ln⁡25t.\boxed{C(t)=200e^{-\frac{\ln 2}{5}t}}.

  1. We want to determine when the amount of caffeine reaches 5050 mg:
    200e−ln⁡25t=50.200e^{-\frac{\ln 2}{5}t}=50.Thus
    e−ln⁡25t=14.e^{-\frac{\ln 2}{5}t}=\frac14.Since
    14=2−2,\frac14=2^{-2},we obtain
    −ln⁡25t=−2ln⁡2,-\frac{\ln 2}{5}t=-2\ln 2,and therefore
    t=10 hours.\boxed{t=10\text{ hours}}.

  2. The coffee was consumed at noon. Ten hours later, the caffeine level reaches 5050 mg at
    22:00.\boxed{22{:}00}.

  3. To have at most 5050 mg of caffeine remaining by 23:0023{:}00, the engineer must allow at least 1010 hours between drinking the coffee and going to bed.

Therefore, the latest possible time to drink the coffee is
23:00−10 hours=13:00.23{:}00-10\text{ hours}=13{:}00.

Hence,
13:00.\boxed{13{:}00}.

  1. Suppose the engineer drinks one coffee at 12:0012{:}00 and another identical coffee at 16:0016{:}00.

At 23:0023{:}00, the caffeine remaining from the first coffee is
C1=200e−ln⁡25⋅11=200⋅2−11/5.C_1=200e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot 11} =200\cdot 2^{-11/5}.

The second coffee has been in the body for 77 hours, so its contribution is
C2=200e−ln⁡25⋅7=200⋅2−7/5.C_2=200e^{-\frac{\ln 2}{5}\cdot 7} =200\cdot 2^{-7/5}.

Thus the total amount of caffeine at 23:0023{:}00 is
Ctotal=200(2−11/5+2−7/5).C_{\mathrm{total}} = 200\left(2^{-11/5}+2^{-7/5}\right).

Numerically,
Ctotal≈43.5+75.8≈119.3 mg.C_{\mathrm{total}}\approx 43.5+75.8 \approx119.3\text{ mg}.

Therefore,
Ctotal>50 mg.\boxed{C_{\mathrm{total}}>50\text{ mg}}.

According to our model, the engineer will not reach the 5050 mg threshold before 23:0023{:}00. So perhaps that second coffee was not such a good idea.

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