Un critère topologique de diagonalisation

Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, soit $S(A):=\{PAP^{-1}, P\in GL_n(\mathbb{C})\}$ la classe de similitude de $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

1. Supposons que $A$ soit diagonalisable.

1) a) Caractériser $S(A)$ en utilisant les polynômes charactéristiques^EN et minimaux de$A$.

1) b) En déduire que $S(A)$ est fermé dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

2. Supposons maintenant que $A$ ne soit pas diagonalisable.

Montrer qu’il existe une matrice diagonalisable dans l'adhérence^EN de $S(A)$.

3. En déduire un critère topologique de diagonalisabilité pour $A$.