Un endomorphisme qui n’est pas en reste

La réponse est oui et on va le prouver en déterminant directement une base de vecteurs propres. Tout d’abord, pour un polynôme $P\in\mathbb{C}_{n-1}[X]$ on a $\varphi_A(P)=R$ où
$$PA=(X^n-1)Q+R$$est la division euclidienne de $PA$ par $X^n-1.$ Pour obtenir des informations sur $R$ on peut se demander en quoi évaluer l’expression pour éliminer le terme $(X^n-1)Q$. Les racines de l’unité étant les racines de $X^n-1$ on peut s’y intéresser. On pose $\zeta=\exp\left(i\dfrac{2\pi}{n}\right)$ de sorte que $\mathbb{U}_n=\left\{\zeta^k\mid 0\leqslant k\leqslant n-1\right\}.$ En évaluant en $\zeta^k$ on a $P(\zeta)A(\zeta)=R(\zeta).$ On introduit la base d’interpolation de Lagrange en interpolant en $\mathbb{U}_n,$ c’est-à-dire on pose la famille $(L_k)_{0\leqslant k\leqslant n-1}$ définie par $L_k=\displaystyle\prod_{\substack{j=0\\j\neq k}}^{n-1}\dfrac{X-\zeta^j}{\zeta^k-\zeta^j}$ qui vérifie $L_k(\zeta_i)=\delta_{ik}$ et qui est une base de $\mathbb{C}_{n-1}[X].$ On rappelle qu’un polynôme $B\in\mathbb{C}_{n-1}[X]$ quelconque s’écrit alors dans cette base sous la forme $B=\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}B(\zeta^j)L_j.$ On va déterminer la matrice de $\varphi_A$ dans cette base. Soit $0\leqslant k\leqslant n-1$ et $(Q,R)\in\mathbb{C}[X]$ avec $\deg(R)\leqslant n-1$ tels que
$$AL_k=(X^n-1)Q+R.$$En évaluant en $\zeta^j$ pour $j\neq k$ on a
$$A(\zeta^j)L_k(\zeta^j)=0=R(\zeta^j).$$Pour $j=k$ on a
$$A(\zeta^k)=R(\zeta^k).$$Autrement dit, l’écriture de $R$ dans la base $(L_j)$ est donnée par $R=A(\zeta^k)L_k$ ce qui signifie que $\varphi_A(L_k)=A(\zeta^k)L_k.$ Ainsi, $(L_k)$ est une base de vecteurs propres de $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ associée aux valeurs propres $A(\zeta^k).$ Donc $\varphi_A$ est diagonalisable.