Un équivalent naturel des plus compliqués

$\hookrightarrow$ L’intégrale est positive donc $x_{n+1}\geqslant x_n$ et ainsi notre suite est croissante et admet donc une limite. Supposons qu’elle converge vers $l\in\R$, alors en passant à la limite dans l’équation on trouve $l=l+\int_l^{+\infty}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$, ce qui est absurde car l’intégrale est strictement positive. Ainsi $(x_n)_n$ tend vers $+\infty$.

$\hookrightarrow$ On réécrit l’intégrale en changeant $x^2$ en $t$, ce qui donne $\displaystyle\int_{x_n^2}^{+\infty}\frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t$. Pour trouver un équivalent de cette intégrale, on note que la dérivée de l’intégrande est $\frac12 e^{-t}\left(-\frac{1}{\sqrt{t}}-\frac{1}{2t^{3/2}}\right)$ qui équivaut donc à l’opposé de $\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}$, soit notre intégrande. On peut alors appliquer le critère d’équivalents sous le signe intégral pour les intégrales convergentes et conclure que
$$x_{n+1}-x_n=\displaystyle\int_{x_n^2}^{+\infty}\frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\underset{n\to+\infty}{\sim}\displaystyle\int_{x_n^2}^{+\infty}\left(-\frac{e^{-t}}{2\sqrt{t}}\right)'\,\mathrm{d}t=\frac{e^{-x_n^2}}{2x_n}$$$\hookrightarrow$ On applique la méthode d'approximation par équation différentielle afin d’intuiter qu’il faut poser $y_n:=e^{x_{n+1}^2}-e^{x_n^2}$. En détaillant le calcul de la limite de $(y_n)_n$, on trouve:
$$y_n=e^{x_n^2}\left(\exp\left[\left(\frac{e^{-x_n^2}}{2x_n}+o\left(\frac{e^{-x_n^2}}{x_n}\right)\right)\cdot(x_{n+1}+x_n)\right]-1\right)\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}1$$$\hookrightarrow$ Il ne reste plus qu’à appliquer le théorème de Cesaro pour en déduire que
$$\frac{e^{x_n^2}-e^{x_0^2}}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} y_k\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}1$$Et ainsi on peut négliger $e^{x_0^2}$ et trouver que $e^{x_n^2}\sim n$. Les équivalents passent au log car les deux côtés tendent vers l’infini et on conclut finalement que
$$\boxed{x_n\underset{n\to+\infty}{\sim}\sqrt{\ln(n)}}$$

on vérifie que la suite (x_n) est strictement croissante et tend vers $+\infty$. On vérifie que $(\frac{e^{-x^{2}}}{2x})^{'} \sim -e^{-x^{2}}$ au voisinage de l’infini d’où par intégration de cet équivalent et car l’intégrale $\int_{0}^{+\infty} exp(-t^{2})dt$ est une intégrale convergente d’une fonction positive on a $\int_{x}^{+\infty} exp(-t^{2})dt \sim exp(-x^{2})/(2x)=:F(x)$ au voisinage de plus infini et donc on a l’equivalent $x_{n+1}-x_{n} \sim F(x_{n})$

en particulier on a la suite de terme général $x_{n+1}-x_n$ tend vers 0 et l’équivalent $x_{n+1}+x_{n}\sim 2x_n$

soit $g$ la fonction definie par $\forall x>0, g(x)=exp(x^{2})$
par l’inégalité des accroissements finis, quel que soit $n$, il existe $c_{n}\in ]x_n; x_{n+1}[$ tel que $g(x_{n+1})-g(x_{n})=(x_{n+1}-x_n)g'(c_n) \sim F(x_n)2c_n exp(c_n^{2})$

on va estimer $c_{n}^{2}-x_{n}^{2}$ afin de simplifier l’équivalent précédent.
on a $0\le c_{n}^{2}-x_{n}^{2} \le x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}=(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}+x_n) \sim 2F(x_n).x_n=o(1)$ d’où l’on déduit que la suite de terme général $exp(c_{n}^{2}-x_{n}^{2})$ converge vers 1.

par ailleurs, comme $x_{n+1}\sim x_{n}$ on a aussi $c_{n}\sim x_{n}$
Finalement on peut simplifier l’équivalent et
on a $g(x_{n+1})-g(x_{n})\sim 1$

la série $\sum\limits 1$ est une série à termes positifs et divergente et par théorème de sommation des sommes partielles d’une série divergente à termes positifs on a $g(x_{n})\sim n$ c’est à dire $exp(x_{n}^{2})=n(1+o(1))$ d’où en prenant le logarithme et car $\ln(1+h) \sim h$ au voisinage de 0, on a $x_{n}^{2}\sim \ln(n)$ d’où $x_{n} \sim \ln(n)^{1/2}$