Un héritage d’irréductibles

Soit $L=K[X]/\left<\Phi_{n}\right>$ un corps de rupture de $\Phi_{n}$ et $\omega$ la classe de $X$ dans le quotient. On considère les lemmes ci-dessous :
Lemme 1 L’ensemble des racines de $\Phi_{n}$ satisfait $\Phi_{n}^{-1}(\set{0})=\mu_{n}'(L)$ et l'action de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ sur cet ensemble est simplement transitive.
Preuve Voir le problème suivant.
Lemme 2 Soit $F\in K[X]$ unitaire, scindé à racines simples dans $L/K$ tel que $\mathrm{Gal}(L/K)$ agit transitivement sur les racines de $F$ dans $L$ alors $F$ est irréductible dans $K[X].$
Preuve Voir le problème suivant.
Lemme 3 Soit $d\mid n$ alors le morphisme canonique $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\to \mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{\times}$ est surjectif.
Preuve Voir le problème suivant.

D’après le lemme 1, l’ensemble des racines de $\Phi_{n}$ est $\mu_{n}'(L),$ l’ensemble des racines primitives $n$-ème de l’unité dans $L.$ On pose $d$ un diviseur de $n$ et $m$ tel que $n=md.$ On considère $\pi\colon \zeta\in\mu_{n}'(L)\mapsto \zeta^{m}\in\mu_{d}'(L)$. D’après le lemme 1 et 3 l’application $\pi$ est surjective.
Soit $\zeta$ et $\eta$ deux éléments de $\mu_{n}'(L)$ et $s$ premier à $n$ tel que $\eta=\zeta^{s}$. On considère le morphisme de $K$-algèbres (obtenu la propriété universelle des anneaux de polynômes)
$$\begin{array}{rrl}\psi\colon & K[X] & \longrightarrow & L\\ & F(X) & \longmapsto &F(\omega^{s}). \end{array}$$Le noyau de $\psi$ est l’idéal $\left<\Phi_{n}\right>$ ce qui nous permet de factoriser $\psi$ grâce à la propriété universelle du quotient en $\widetilde{\psi}\colon L\to L$. Il s’agit d’un morphisme injectif entre espaces vectoriels de même dimensions $\varphi(n)$. Il est donc surjectif. On considère $r$ tel que $\zeta=\omega^{r}$ de telle sorte que $\sigma(\zeta)=\sigma(\omega^{r})=\omega^{rs}=\zeta^{s}=\eta$. Puis, $\sigma(\zeta^{m})=\eta^{m}\in\mu_{d}'(L)$. Ainsi $\mathrm{Gal}(L/K)$ agit transitivement sur les racines de $\Phi_{d}$ donc, d’après le lemme 2, $\Phi_{d}$ est irréductible.