Une condition d’irréductibilité

Soit $P=X^{d}+a_{d-1}X^{d-1}+\cdots+a_{0}\in K[X]$ un diviseur de $F$ de degré $\deg(P)\geqslant 1$. Puisque $F$ est scindé dans $L$ alors $P$ l’est également et ses racines sont inclues dans celles de $F$. Quitte à réordonner les racines de $F$ on suppose que $P(z_{1})=0$. Soit $j\in\set{1,\dots,n}$ et $\sigma\in\mathrm{Gal}(L/K)$ tel que $\sigma(z_{1})=z_{j}.$ Alors, puisque $\sigma$ respecte les lois $+$ et $\times$, on a
$$0=\sigma(P(z_{1}))=\sum_{k=0}^{d}\sigma(a_{k}z_{1}^{k})=\sum_{k=0}^{d}\sigma(a_{k})\sigma(z_{1}^{k})=\sum_{k=0}^{d}a_{k}\sigma(z_{1})^{k}=\sum_{k=0}^{d}a_{k}z_{j}^{k}=P(z_{j}).$$On en déduit que $z_{j}$ est aussi racine de $P$. Puisque les $z_{j}$ sont distincts, les $X-z_{j}$ sont premiers entre eux donc $\displaystyle \prod_{j=1}^{m}(X-z_{j})=P\mid F.$ Donc $F=P$, ce qui prouve que $F$ est irréductible.