Solution
Solution by mathman · FR
Ce problème se ramène finalement à un simple calcul de barycentre.
On se place dans un espace de dimension n dans lequel l’équation r_1 + r_2 + r_3 +......+ r_n = 1 définit l’équation d’un hyperplan (de dimension n-1).
Les inégalités 1 ≥ r_1 ≥ r_2 ≥ r_3 ≥......≥ r_n ≥ 0 déterminent un domaine D de cet hyperplan.
Chaque possibilité de n-uplet (r_1 , r_2 , r_3 ,......, r_n) correspond à un point M de D.
Tous les points M de coordonnées (r_1 , r_2 , r_3 ,......, r_n) de D ont la même probabilité.
L’espérance du point M n’est rien d’autre que le barycentre de D que l’on obtient par un calcul intégral.
Pour ce calcul intégral, on utilise la paramétrisation (faisant intervenir n-1 variables) suivante :
r_1 = 1 - t_1/1.2 - t_2/2.3 - t_3/3.4 - ........................- t_n-2/(n-2).(n-1) - t_n-1/n.(n-1)
r_2 = + t_1/2 - t_2/2.3 - t_3/3.4 - .......................- t_n-2/(n-2).(n-1) - t_n-1/n.(n-1)
r_3 = + t_2/3 - t_3/3.4 - .......................- t_n-2/(n-2).(n-1) - t_n-1/n.(n-1)
r_4 = + t_3/4 - .......................- t_n-2/(n-2).(n-1) - t_n-1/n.(n-1)
...........................................................................................................................
r_n-1 = + t_n-2/(n-1) - t_n-1/n.(n-1)
r_n = + t_n-1/n
où 1 ≥ t_1≥ t_2 ≥ t_3 ≥......≥ t_n-1 ≥ 0
On obtient ainsi le barycentre G de D par le calcul d’une intégrale multiple ( sur n-1 intégrales, mais comme les variables sont indépendantes ce n’est pas très difficile).
Les coordonnées de G étant (E(r_1) , E(r_2) , E(r_3) ,......, E(r_n)).
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