Dans un pays imaginaire, ses habitants (libres et égaux) ont les mêmes chances de devenir riche (ou pauvre).
On classe les habitants par ordre de richesse en notant la richesse du plus riche, etc... jusqu’à la richesse du plus pauvre.
On affecte à toutes les possibilités de n-uplets la même probabilité (car hormis des raisons idéologiques, il n’y a aucune raison rationnelle d’en privilégier une plutôt qu’une autre).
On conviendra que les sont des nombres réels compris dans et que
Montrez que l’espérance de richesse
En déduire (morale mathématique) que l’égalité n’implique pas l’égalitarisme.
Solutions
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Solution by mathman
Ce problème se ramène finalement à un simple calcul de barycentre.
On se place dans un espace de dimension n dans lequel l’équation r_1 + r_2 + r_3 +......+ r_n = 1 définit l’équation d’un hyperplan (de dimension n-1).
Les inégalités 1 ≥ r_1 ≥ r_2 ≥ r_3 ≥......≥ r_n ≥ 0 déterminent un domaine D de cet hyperplan.
Chaque possibilité de n-uplet (r_1 , r_2 , r_3 ,......, r_n) correspond à un point M de D.
Tous les points M de coordonnées (r_1 , r_2 , r_3 ,......, r_n) de D ont la même probabilité.
L’espérance du point M n’est rien d’autre que le barycentre de D que l’on obtient par un calcul intégral.
Pour ce calcul intégral, on utilise la paramétrisation (faisant intervenir n-1 variables) suivante :
r_1 = 1 - t_1/1.2 - t_2/2.3 - t_3/3.4 - ........................- t_n-2/(n-2).(n-1) - t_n-1/n.(n-1)
r_2 = + t_1/2 - t_2/2.3 - t_3/3.4 - .......................- t_n-2/(n-2).(n-1) - t_n-1/n.(n-1)
r_3 = + t_2/3 - t_3/3.4 - .......................- t_n-2/(n-2).(n-1) - t_n-1/n.(n-1)
r_4 = + t_3/4 - .......................- t_n-2/(n-2).(n-1) - t_n-1/n.(n-1)
...........................................................................................................................
r_n-1 = + t_n-2/(n-1) - t_n-1/n.(n-1)
r_n = + t_n-1/n
où 1 ≥ t_1≥ t_2 ≥ t_3 ≥......≥ t_n-1 ≥ 0
On obtient ainsi le barycentre G de D par le calcul d’une intégrale multiple ( sur n-1 intégrales, mais comme les variables sont indépendantes ce n’est pas très difficile).
Les coordonnées de G étant (E(r_1) , E(r_2) , E(r_3) ,......, E(r_n)).
Solution by mathman
On remarque que r_i = somme de k=i à n de (r_k - r_{k+1}) où r_{n+1} = 0. Ensuite, on peut poser e_k = r_k - r_{k+1} >= 0 et la somme pour j allant de 1 à n des r_j = somme pour j allant de 1 à n de la somme pour k allant de j à n des e_k = somme pour k allant de 1 à n de ke_k = 1. On a aussi : r_i = somme pour k allant de i à n de e_k et E(r_i) = somme pour k allant de i à n de E(e_k). Si on pose u_k = ke_k alors la somme pour k allant de 1 à n de u_k = 1 et par symétrie E(u_k) = 1/n donc E(e_k) = 1/(nk). Finalement, E(r_i) = somme pour k allant de i à n de 1/(nk) = 1/n * somme pour k allant de i à n de 1/k.