Un pays imaginaire

On remarque que r_i = somme de k=i à n de (r_k - r_{k+1}) où r_{n+1} = 0. Ensuite, on peut poser e_k = r_k - r_{k+1} >= 0 et la somme pour j allant de 1 à n des r_j = somme pour j allant de 1 à n de la somme pour k allant de j à n des e_k = somme pour k allant de 1 à n de ke_k = 1. On a aussi : r_i = somme pour k allant de i à n de e_k et E(r_i) = somme pour k allant de i à n de E(e_k). Si on pose u_k = ke_k alors la somme pour k allant de 1 à n de u_k = 1 et par symétrie E(u_k) = 1/n donc E(e_k) = 1/(nk). Finalement, E(r_i) = somme pour k allant de i à n de 1/(nk) = 1/n * somme pour k allant de i à n de 1/k.