Un problème d’optimisation à trois sinus

Observons que$f$ est continue et $2\pi$-périodique en chaque variable, donc $f(\mathbb{R}^2)=f([0,2\pi]^2)$, image d’un compact. Le maximum est atteint, en un point intérieur à un carré de période convenable, donc en un point critique de $f$.

Les équations $\partial_xf=0$ et $\partial_yf=0$ s’écrivent
$$\cos x+\cos(x-y)=0,\qquad \cos y+\cos(x-y)=0,$$d’où $\cos x=\cos y$, soit $y\equiv\pm x\pmod{2\pi}$.

• Si $y\equiv x$, la première équation donne $\cos x=-1$, donc $(x,y)\equiv(\pi,\pi)$, et $f=0$.
• Si $y\equiv-x$, elle devient $\cos x+\cos2x=0$, soit $2\cos^2x+\cos x-1=(2\cos x-1)(\cos x+1)=0$. Le cas $\cos x=-1$ redonne $(\pi,\pi)$. Le cas $\cos x=\frac12$ donne $(x,y)\equiv\pm\left(\frac\pi3,-\frac\pi3\right)$, et
  $$f\Big(\frac\pi3,-\frac\pi3\Big)=\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}2,\qquad f\Big(-\frac\pi3,\frac\pi3\Big)=-\frac{3\sqrt3}2.$$

Les valeurs critiques sont donc $0$ et $\pm\frac{3\sqrt3}2$. Le maximum vaut $\frac{3\sqrt3}2$, et par symétrie $f(-x,-y)=-f(x,y)$, le minimum vaut $-\frac{3\sqrt3}2$.