Un problème d'optimisation à trois sinus

On considère la fonction $f\colon \R^{2}\to \R$ définie comme :
$f(x,y)=\sin(x)-\sin(y)+\sin(x-y).$ Déterminer, s’il existe, le maximum de cette fonction sur $\R^{2}$ .

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Observons que $f$ est continue et $2\pi$ -périodique en chaque variable, donc $f(\mathbb{R}^2)=f([0,2\pi]^2)$ , image d’un compact. Le maximum est atteint, en un point intérieur à un carré de période convenable, donc en un point critique de $f$ .

Les équations $\partial_xf=0$ et $\partial_yf=0$ s’écrivent
$\cos x+\cos(x-y)=0,\qquad \cos y+\cos(x-y)=0,$ d’où $\cos x=\cos y$ , soit $y\equiv\pm x\pmod{2\pi}$ .

Si $y\equiv x$ , la première équation donne $\cos x=-1$ , donc $(x,y)\equiv(\pi,\pi)$ , et $f=0$ .
Si $y\equiv-x$ , elle devient $\cos x+\cos2x=0$ , soit $2\cos^2x+\cos x-1=(2\cos x-1)(\cos x+1)=0$ . Le cas $\cos x=-1$ redonne $(\pi,\pi)$ . Le cas $\cos x=\frac12$ donne $(x,y)\equiv\pm\left(\frac\pi3,-\frac\pi3\right)$ , et
$f\Big(\frac\pi3,-\frac\pi3\Big)=\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}2,\qquad f\Big(-\frac\pi3,\frac\pi3\Big)=-\frac{3\sqrt3}2.$

Les valeurs critiques sont donc $0$ et $\pm\frac{3\sqrt3}2$ . Le maximum vaut $\frac{3\sqrt3}2$ , et par symétrie $f(-x,-y)=-f(x,y)$ , le minimum vaut $-\frac{3\sqrt3}2$ .

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