un prolongement très simple de la fonction $\zeta$

Historiquement, la fonction $\zeta$ a été définie par $\displaystyle\zeta(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{x}}$
Mais cette définition n’est valable que pour $x>1$

Dirichlet a ensuite défini la fonction $\eta$ en écrivant :
$\displaystyle\eta(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1}\frac{1}{k^{x}}=\zeta(x)(1-\frac{1}{2^{x-1}})$

Mais cette définition n’est valable que pour $x>0$

Montrez qu’on peut étendre le domaine de définition de la fonction $\eta$ à $\mathbb R$ en écrivant:

$\displaystyle\eta(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1}\frac{t^{k}}{k!k^{x}}\mathrm{d}t$

calculez $\displaystyle\eta(0)$ et $\displaystyle\eta(-1)$

en déduire $\zeta(0)$ et $\zeta(-1)$