Un résultat renversant

Solution en vidéo : https://youtu.be/0-T0DfnDBPo

$\boxed{\Rightarrow}$ Soit $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que $P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ diagonale. Alors $P^{-1}AP$ est inversible comme produit de matrice inversible et $(P^{-1}AP)^{-1}=P^{-1}A^{-1}P=\operatorname{diag}(1/\lambda_1,\dots,1/\lambda_n)$. On a donc
$$P^{-1}(A-A^{-1})P=P^{-1}AP-P^{-1}A^{-1}P=\operatorname{diag}\left(\lambda_1-\dfrac{1}{\lambda_1},\dots,\lambda_n-\dfrac{1}{\lambda_n}\right).$$$\boxed{\Leftarrow}$ Supposons $A-A^{-1}$ diagonalisable. Elle est alors annulée par un polynôme unitaire scindé à racines simples dans $\mathbb{R}[X].$ Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ des réels distincts tels que $P=\displaystyle\prod_{i=1}^r(X-\lambda_i)$ annule $A-A^{-1}$. On a alors $P(A-A^{-1})=0$ et donc, puisque $A$ commute avec $A,A^{-1}$ et $I_n,$
$$0=A^rP(A-A^{-1})=\prod_{i=1}^r(A^2-I_n-\lambda_i A)=\prod_{i=1}^r(A^2-\lambda_i A-I_n).$$Autrement dit, le polynôme $Q=\displaystyle\prod_{i=1}^{r}(X^2-\lambda_i X-1)$ annule $A.$ Par ailleurs, pour $\lambda\in\mathbb{R},$ le discriminant de $X^2-\lambda X-1$ est $\Delta=\lambda^2+4>0$ si bien que
$$X^2-\lambda X-1=\left(X-\dfrac{\lambda+\sqrt{\lambda^2+4}}{2}\right)\left(X-\dfrac{\lambda-\sqrt{\lambda^2+4}}{2}\right)=(X-2f(\lambda))(X-2g(\lambda)).$$avec $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+\sqrt{x^2+4}$ et $g(x)=x-\sqrt{x^2+4}$ vérifient $\forall x\in\mathbb{R}, f(x)>0$ et $g(x)<0$ si bien qu’elles prennent des valeurs distinctes. D’autre part, $f$ est dérivable et $f'(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ mais $\left|x\right|=\sqrt{x^2}<\sqrt{x^2+4}$ donc $-1<\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}<1$. Par conséquent, $\forall x\in\mathbb{R}, f'(x)>0$ donc $f$ est strictement croissante donc injective. De même $g$ est aussi injective car aussi strictement croissante. En particulier, si $\lambda\neq \mu$ alors $f(\lambda),f(\mu),g(\lambda)$ et $g(\mu)$ sont tous distincts deux à deux. Le polynôme $Q$ est alors lui aussi scindé à racine simple et annulateur de $A$ donc $A$ est diagonalisable.