Un supplémentaire commun

Commençons par le lemme suivant :
Un espace vectoriel n’est jamais réunion de deux sous-espaces stricts.

Preuve. Supposons $E=A\cup B$. Si $A\subseteq B$ alors $E=B$, et de même dans l’autre sens ; sinon, choisissons $a\in A\setminus B$ et $b\in B\setminus A$. Le vecteur $a+b$ appartient à $A\cup B$. S’il est dans $A$, alors $b=(a+b)-a\in A$, exclu ; s’il est dans $B$, alors $a\in B$, exclu. $\square$

Posons $n=\dim E$ et raisonnons par récurrence descendante sur $r$, c’est-à-dire par récurrence sur la codimension $n-r$.
Si $r=n$, alors $A=B=E$ et $S=\{0\}$ convient.
Supposons $r<n$ et le résultat acquis pour toute paire de sous-espaces de dimension $r+1$. Comme $A$ et $B$ sont stricts, le lemme fournit un $x\neq 0$ tel que $x\in E\setminus(A\cup B)$.
Les sous-espaces $A'=A\oplus\mathbb{K}x$ et $B'=B\oplus\mathbb{K}x$ sont de dimension $r+1$. L’hypothèse de récurrence donne un $S'$ tel que
$$A'\oplus S'=B'\oplus S'=E .$$Posons $S=\mathbb{K}x\oplus S'$, somme directe car $x\in A'$ et $A'\cap S'=\{0\}$. Alors
$$A\oplus S=A\oplus\mathbb{K}x\oplus S'=A'\oplus S'=E,$$la somme étant directe puisque $A$, $\mathbb{K}x$ et $S'$ sont en somme directe dans $A'\oplus S'$. Le même calcul vaut pour $B$. $\blacksquare$