Une base de matrices inversibles

Montrer que $M_{n}(\mathbb{R})$ a une base de matrices inversibles...

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Solution by AndurilEN

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$\mathcal{B} = \{ I_n \} \cup \{ I_n + E_{ii} \mid 2 \le i \le n \} \cup \{ I_n + E_{ij} \mid 1 \le i, j \le n, i \neq j \}$ works
In finite dimension, subspaces are closed. Hence, $\operatorname{Vect}(GL_n(\mathbb{R})) = \overline{\operatorname{Vect}(GL_n(\mathbb{R}))}$ which contains $\overline{GL_{n}(\mathbb{R})}$ (closure preserves inclusion and a set is included in the space it spans) which is $M_{n}(\mathbb{R})$ . So finally $Vect(Gl_{n}(\mathbb{R}))=M_{n}(\mathbb{R})$ ie $M_{n}(\mathbb{R})$ has a basis of invertible matrices because, according to the basis extraction theorem, a generative set contains a basis.

Solution by Anduril

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$\mathcal{B} = \{ I_n \} \cup \{ I_n + E_{ii} \mid 2 \le i \le n \} \cup \{ I_n + E_{ij} \mid 1 \le i, j \le n, i \neq j \}$ convient.
En dimension finie, les sous-espaces vectoriels sont fermés. Par conséquent, $\operatorname{Vect}(GL_n(\mathbb{R})) = \overline{\operatorname{Vect}(GL_n(\mathbb{R}))}$ qui contient $\overline{GL_{n}(\mathbb{R})}$ (l’adhérence est croissante pour l’inclusion et une partie est incluse dans l’espace qu’elle engendre) qui est $M_{n}(\mathbb{R})$ . Ainsi, $\operatorname{Vect}(GL_{n}(\mathbb{R}))=M_{n}(\mathbb{R})$ , c’est-à-dire que $M_{n}(\mathbb{R})$ possède une base de matrices inversibles car, d’après le théorème de la base extraite, une partie génératrice contient une base.

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