Une boule ouverte est bien un ouvert

Soit $x_{0} \in E, R\in \mathbb{R}_{+}$.
Montrons que la boule ouverte $B(x_{0},R)$ est ouvert, c’est-à-dire que
$$\forall y \in B(x_0,R), \exists \rho>0 \text{ tel que } B(y,\rho) \subset B(x_0,R).$$Soit $y \in B(x_{0},R)$.
Posons $\rho = R -d(x_0,y)>0$.

Montrons que $B(y,\rho) \subset B(x_0,R).$
Soit $z\in B(y,\rho)$, on a par inégalité triangulaire
$$d(x_0,z) \le d(x_0,y)+d(y,z) < d(x_{0},y) + \rho = R.$$

D’où $z \in B(x_0,R)$.
Donc $B(y,\rho) \subset B(x_0,R)$.

$B(x_0,R)$ est ouvert.