Une boule ouverte est bien un ouvert

by SalixBabylonica·

Soit $E$ un espace métrique muni de sa distance $d$ .

Montrez que tout boule ouverte de $E$ est un ouvert de $E$ .

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Solution by SalixBabylonica

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Soit $x_{0} \in E, R\in \mathbb{R}_{+}$ .
Montrons que la boule ouverte $B(x_{0},R)$ est ouvert, c’est-à-dire que
$\forall y \in B(x_0,R), \exists \rho>0 \text{ tel que } B(y,\rho) \subset B(x_0,R).$ Soit $y \in B(x_{0},R)$ .
Posons $\rho = R -d(x_0,y)>0$ .

Montrons que $B(y,\rho) \subset B(x_0,R).$
Soit $z\in B(y,\rho)$ , on a par inégalité triangulaire
$d(x_0,z) \le d(x_0,y)+d(y,z) < d(x_{0},y) + \rho = R.$

D’où $z \in B(x_0,R)$ .
Donc $B(y,\rho) \subset B(x_0,R)$ .

$B(x_0,R)$ est ouvert.

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