Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/TopologyExerciseUnreviewed

Une définition légèrement différente de variété topologique

by Ancient Tree·
49
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Montrer que, dans la définition d’une variété topologique, on peut remplacer « homéomorphe à un ouvert de Rn\R^{n} » par « homéomorphe à Rn\R^{n} ».

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Solutions

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Solution by Ancient Tree

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  • Supposons qu’on ait une variété topologique MM au sens habituel. Soit p∈Mp\in M. Il existe donc un voisinage ouvert VV de pp qui est homéomorphe à un ouvert de Rn\R^{n}. Notons φ:V→φ(V)⊆Rn\varphi:V\to \varphi(V)\subseteq \R^{n} l’homéomorphisme. Comme φ(V)\varphi(V) est ouvert, alors il existe une boule ouverte B\mathcal{B} de centre φ(p)∈φ(V)\varphi(p)\in \varphi(V) qui est incluse dans φ(V)\varphi(V).
    Cette boule ouverte B\mathcal{B} est homéomorphe à Rn\R^{n} tout entier. Et son image par φ−1(B)\varphi^{-1}(\mathcal{B}) contient pp, et est bien sûr homéomorphe à B\mathcal{B}. Ceci montre que pp a un voisinage ouvert homéomorphe à Rn\R^{n}.

  • La réciproque est plus facile : puisque Rn\R^{n} est en particulier un ouvert de Rn\R^{n}, on obtient directement le résultat.

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