Une définition légèrement différente de variété topologique

Supposons qu’on ait une variété topologique $M$ au sens habituel. Soit $p\in M$. Il existe donc un voisinage ouvert $V$ de $p$ qui est homéomorphe à un ouvert de $\R^{n}$. Notons $\varphi:V\to \varphi(V)\subseteq \R^{n}$ l’homéomorphisme. Comme $\varphi(V)$ est ouvert, alors il existe une boule ouverte $\mathcal{B}$ de centre $\varphi(p)\in \varphi(V)$ qui est incluse dans $\varphi(V)$.
Cette boule ouverte $\mathcal{B}$ est homéomorphe à $\R^{n}$ tout entier. Et son image par $\varphi^{-1}(\mathcal{B})$ contient $p$, et est bien sûr homéomorphe à $\mathcal{B}$. Ceci montre que $p$ a un voisinage ouvert homéomorphe à $\R^{n}$.

La réciproque est plus facile : puisque $\R^{n}$ est en particulier un ouvert de $\R^{n}$, on obtient directement le résultat.