Une drôle de somme

On note $p_{i}$ le $i$-ème nombre premier.
On remarque que $\displaystyle \frac{f(p_{i})}{p_{i} - 1} = \frac{1}{p_{i}} \frac{f(p_{i})}{1 - \frac{1}{p_{i}}} = \frac{1}{p_{i}} f(p_{i-1})$.
De cette même relation découle:
$$\begin{align} \displaystyle \frac{f(p_{i})}{p_{i} - 1} = \frac{f(p_{i-1})}{p_{i}} &\iff p_{i }f(p_{i}) = (p_{i} - 1) f(p_{i-1}) \\ &\iff \frac{f(p_{i-1})}{p_{i}} = f(p_{i-1}) - f(p_{i}) \\ &\iff \frac{f(p_{i})}{p_{i} - 1} = f(p_{i-1}) - f(p_{i}) \end{align}$$Il s’en suit par téléscopage que $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{f(p_{i})}{p_{i} - 1} = 1 - f(p_{n})$.

Il nous reste à montrer que $f(p_{n}) \to 0$. Pour cela je vais utiliser sans la redémontrer la divergence de la série $\displaystyle \sum_{i} \frac{1}{p_{i}}$.
On a $\displaystyle \log f(p_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \log\left(1 - \frac{1}{p_{i}}\right)$. Or $\displaystyle \log\left(1 - \frac{1}{p_{i}} \right) \sim -\frac{1}{p_{i}}$ , le théorème sommation des relations de comparaison permet d’affirmer que $\displaystyle \log f(p_{n}) \sim -\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{p_{i}} \to -\infty$ et par conséquent $f(p_{n}) \to 0$.