Une drôle de somme

On désigne par $\mathbb{P}$ l’ensemble des nombres premiers.

Pour tout $n\geqslant 2$ , $n\in\mathbb{N}$ , on pose $\displaystyle f(n)=\prod_{p\in\mathbb{P}_n}(1-\frac{1}{p})$ où $\mathbb{P}_n$ est l’ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$ .

Montrez que : $\displaystyle\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{f(p)}{p-1}=1.$

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On note $p_{i}$ le $i$ -ème nombre premier.
On remarque que $\displaystyle \frac{f(p_{i})}{p_{i} - 1} = \frac{1}{p_{i}} \frac{f(p_{i})}{1 - \frac{1}{p_{i}}} = \frac{1}{p_{i}} f(p_{i-1})$ .
De cette même relation découle:
$\begin{align} \displaystyle \frac{f(p_{i})}{p_{i} - 1} = \frac{f(p_{i-1})}{p_{i}} &\iff p_{i }f(p_{i}) = (p_{i} - 1) f(p_{i-1}) \\ &\iff \frac{f(p_{i-1})}{p_{i}} = f(p_{i-1}) - f(p_{i}) \\ &\iff \frac{f(p_{i})}{p_{i} - 1} = f(p_{i-1}) - f(p_{i}) \end{align}$ Il s’en suit par téléscopage que $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{f(p_{i})}{p_{i} - 1} = 1 - f(p_{n})$ .

Il nous reste à montrer que $f(p_{n}) \to 0$ . Pour cela je vais utiliser sans la redémontrer la divergence de la série $\displaystyle \sum_{i} \frac{1}{p_{i}}$ .
On a $\displaystyle \log f(p_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \log\left(1 - \frac{1}{p_{i}}\right)$ . Or $\displaystyle \log\left(1 - \frac{1}{p_{i}} \right) \sim -\frac{1}{p_{i}}$ , le théorème sommation des relations de comparaison permet d’affirmer que $\displaystyle \log f(p_{n}) \sim -\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{p_{i}} \to -\infty$ et par conséquent $f(p_{n}) \to 0$ .

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