Une équation matricielle classique

by araucaria araucana·translated by beignet62·

Trouver toutes les matrices $A,B \in M_{n}(\R)$ vérifiant
$AB - BA = I_{n}.$

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Solution by araucaria araucana · translated by beignet62

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Supposons l’existence de matrices $A,B \in M_{n}(\R)$ vérifiant $AB - BA = I_{n}$ . Par linéarité et par cyclicité de la Trace, on obtient
$n=\mathrm{Tr}(I_n)=\text{tr}(AB - BA) = \text{tr}(AB) - \text{tr}(BA) = 0$ ce qui est absurde.

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