Une famille infinie libre

On définit $u\colon f\longmapsto f'$ sur $E:=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, sous-espace des fonctions réelles.
Ainsi les vecteurs propres de $u$, soit les fonctions telles que $u(f)=af$, sont exactement les $x\longmapsto e^{ax}$ à constante près (associés chacun à des espaces propres différents car de valeur propre différente). Ainsi, les espaces propres étant en somme directe, on a bien que notre famille est libre.