Une famille infinie libre

On définit $u\colon f\longmapsto f'$ sur $E:=\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, sous-espace des fonctions réelles.
Ainsi les vecteurs propres de $u$, soit les fonctions telles que $u(f)=af$, sont exactement les $x\longmapsto e^{ax}$ à constante près (associés chacun à des espaces propres différents car de valeur propre différente). Ainsi, les espaces propres étant en somme directe, on a bien que notre famille est libre.

La liberté d’une famille infinie est définie comme la liberté de toute sous-famille finie. Soit $n \geq 1$ et $a_{i} \in \mathbb{R}$ pour $i \in \{1, \ldots, n\}$. Supposons qu’il existe des coefficients $(\lambda_{i})_{1 \leq i \leq n}$ tels que $\sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} e^{a_{i} x} = 0$.

Sans perte de généralité, on peut supposer que $a_{1}$ est le maximum des $(a_{i})$. En multipliant par $e^{-a_{1} x}$, on obtient
$$\lambda_{1} + \sum_{i = 2}^{n} \lambda_{i} e^{(a_{i} - a_{1}) x} = 0.$$On a $a_{i} - a_{1} \geq 0$ par définition de $a_{1}$. En faisant tendre $x$ vers $-\infty$, on trouve $\lambda_{1} = 0$.

En procédant par récurrence, on obtient qu’un nouveau coefficient $\lambda_{i}$ est nul à chaque itération. On conclut que tous les $\lambda_{i}$ sont nuls, donc la famille $(x \mapsto e^{a_{i} x})_{1 \leq i \leq n}$ est libre. Ceci étant vrai pour toute famille finie, on a bien montré que la famille $(x \mapsto e^{a x})_{a \in \mathbb{R}}$ est libre.