Une fonction à la fois paire et impaire

Cette propriété repose sur le fait que le et le seul nombre égal à son opposé est le nombre $0$. $0$ est égal à son opposé $0 = -0$ (à la fois positif et négatif). Et c’est le seul : Soit $a$ un réel vérifiant $a = - a$, on a $2a=0$ donc $a=0$.

Supposons que $f$ est paire et impaire
Comme $f$ est paire, $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = f(-x)$
Comme $f$ est impaire, $\forall x \in \mathbb, f(-x) = -f(x)$
En combinant les ces deux égalités : $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = - f(x)$
On conclut que $f$ est la fonction nulle : $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 0$

Réciproquement, vérifions que la fonction nulle est à la fois paire et impaire
On pose : $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 0$
On a que $\forall x \in \mathbb{R}, f(-x) = 0$
$f$ est paire : $\forall x \in \mathbb{R}, f(-x) = 0 = f(x)$
$f$ est impair : $\forall x \in \mathbb{R}, f(-x) = 0 = -0 = -f(x)$
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D’un point de vue graphique, le graphe de la fonction nulle, représentée ci-dessous en rouge, est à la fois symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (parité) et par rapport à l’origine du repère (imparité). Le graphe de la fonction nulle est superposée sur l’axe des abscisses.
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Remarque : On utilise aussi le fait que $0$ est égal à son opposée pour montrer que toute fonction impaire définie en $0$ s’annule en $0$.