Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Real functionExercise

Une fonction à la fois paire et impaire

by darktoaster·
18
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Soit f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} une fonction.

Montrer que ff est à la fois paire et impaire si et seulement si ff est la fonction nulle.

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Solutions

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Solution by darktoaster

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Cette propriété repose sur le fait que le et le seul nombre égal à son opposé est le nombre 00. 00 est égal à son opposé 0=−00 = -0 (à la fois positif et négatif). Et c’est le seul : Soit aa un réel vérifiant a=−aa = - a, on a 2a=02a=0 donc a=0a=0.

Supposons que ff est paire et impaire
Comme ff est paire, ∀x∈R,f(x)=f(−x)\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = f(-x)
Comme ff est impaire, ∀x∈,f(−x)=−f(x)\forall x \in \mathbb, f(-x) = -f(x)
En combinant les ces deux égalités : ∀x∈R,f(x)=−f(x)\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = - f(x)
On conclut que ff est la fonction nulle : ∀x∈R,f(x)=0\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 0

Réciproquement, vérifions que la fonction nulle est à la fois paire et impaire
On pose : ∀x∈R,f(x)=0\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 0
On a que ∀x∈R,f(−x)=0\forall x \in \mathbb{R}, f(-x) = 0
ff est paire : ∀x∈R,f(−x)=0=f(x)\forall x \in \mathbb{R}, f(-x) = 0 = f(x)
ff est impair : ∀x∈R,f(−x)=0=−0=−f(x)\forall x \in \mathbb{R}, f(-x) = 0 = -0 = -f(x)
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D’un point de vue graphique, le graphe de la fonction nulle, représentée ci-dessous en rouge, est à la fois symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (parité) et par rapport à l’origine du repère (imparité). Le graphe de la fonction nulle est superposée sur l’axe des abscisses.
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focntionnulle
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Remarque : On utilise aussi le fait que 00 est égal à son opposée pour montrer que toute fonction impaire définie en 00 s’annule en 00.

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