Une fonction différentiable est continue

Soit $f:E\to F$ une fonction différentiable entre des espaces vectoriels normés. Soit $a$ dans $E$. $f$ admet donc une différentielle $df_{a}$ en $a$. Par définition, cela signifie que
$$f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+o(\|h\|).$$Mais donc, en faisant tendre $h$ vers $0$, les deux termes $df_{a}(h)$ et $o(\|h\|)$ tendent vers $0$. D’où :
$$\lim_{h\to 0} f(a+h)=f(a)$$c’est-à-dire que $f$ est continue en $a$.

Ce raisonnement étant valable pour tout $a$ du domaine de $f$, on en déduit que $f$ est continue.