Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Differential geometryExerciseUnreviewed

Une fonction différentiable est continue

by Ancient Tree·
37
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Montrer qu’une fonction différentiable est continue.

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Solution by Ancient Tree

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Soit f:E→Ff:E\to F une fonction différentiable entre des espaces vectoriels normés. Soit aa dans EE. ff admet donc une différentielle dfadf_{a} en aa. Par définition, cela signifie que
f(a+h)=f(a)+dfa(h)+o(∥h∥).f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+o(\|h\|).Mais donc, en faisant tendre hh vers 00, les deux termes dfa(h)df_{a}(h) et o(∥h∥)o(\|h\|) tendent vers 00. D’où :
lim⁡h→0f(a+h)=f(a)\lim_{h\to 0} f(a+h)=f(a)c’est-à-dire que ff est continue en aa.

Ce raisonnement étant valable pour tout aa du domaine de ff, on en déduit que ff est continue.

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