Une fonction qui zigzague ?

Supposons par l’absurde disposer d’un $y\in\mathbb{R}$ ayant un nombre fini $x_{1}<\dots<x_{n}$ d’antécédents rangés par ordre croissant. Supposons sans perte de généralité que $f(x_{n}+1)>0$ (on peut toujours remplacer $f$ par $-f$ qui est toujours surjective). On a alors $\forall x>x_{n},f(x)>y$ autrement on pourrait appliquer le théorème des valeurs intermédiaire à $f$ sur l’intervalle $[x,x_{n}+1]$ qui donnerait l’existence de $z>x_{n}$ tel que $f(z)=y.$
Par ailleurs, $f$ étant continue sur $[0,x_{n}]$, son image par $f$ est de la forme $f([0,x_{n}])=[a,b]$. Ainsi
$$f(\mathbb{R})=f([0,x_{n}]\cup ]x_{n},+\infty[)\subset [a,b]\cup ]y,+\infty[.$$Donc $f(\mathbb{R})$ est minoré par $\min(a,y)$ ce qui contredit la surjectivité de $f.$