Une inégalité optimale simple

Comment j’ai eu l’idée de cet exercice : j’ai pris l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec le produit scalaire standard de $\R^{2}$, appliqué à deux vecteurs $(x,y)$ et $(a,b)$ :
$$|xa+yb|\leqslant\sqrt{x^{2}+y^{2}}\sqrt{a^{2}+b^{2}}.$$Et j’ai eu l’idée de poser $(a,b)=(1,1)$ pour trouver une inégalité assez simple :
$$|x+y|\leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$$D’après le cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, pour $(x,y)$ colinéaire avec $(1,1)$, c’est-à-dire pour $x=y$, on a l’égalité, et donc $\sqrt{2}$ est la constante optimale.

On peut cependant faire sans Cauchy-Schwarz, puisque, pour $x,y$ réels :
$$|x+y|^{2}=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy$$or en utilisant que $2xy\leqslant x^{2}+y^{2}$ (grâce à $(x-y)^{2}\geq 0)$, on obtient :
$$|x+y|^{2}\leqslant 2(x^{2}+y^{2})$$D’où en passant à la racine :
$$|x+y|\leq \sqrt{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$et le cas d’égalité étant obtenu grâce à $x=y$.