Une inéquation différentielle

L’hypothèse assure que$\int_{0}^{\pi} [f''(x)+f(x)]\sin(x)dx\ge 0$ (a) car la fonction sinus est positive sur le segment $[0;\pi]$. Par double intégration par parties ($f$ et sinus sont de classe $C^{2}$) : on a l’égalité :$\int_{0}^{\pi} f''(x)\sin(x)dx=\int_{0}^{\pi}f(x)\sin''(x)dx+[f'\sin-f(\sin){'}]_{0}^{\pi}=-\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(x)dx+f(\pi)+f(0) (b)$

(a) et (b) donnent alors $f(\pi)+f(0)\ge 0$ (c). Il suffit d’appliquer (c) à la fonction $f_{x}, x\in \R$ définie par $\forall t\in \R, f_{x}(t):=f(x+t)$ : pour tout $x$, $f_{x}$ est bien de classe $C^{2}$ et vérifie l’inéquation $f_{x}''+f_{x}\ge 0$ et on a $\forall x, f_{x}(\pi)+f_{x}(0)=f(x+\pi)+f(x)$

:::Rem : on peut rédiger différemment en introduisant un ''wronskien'' adapté $W:=f'g-fg'$ où $g$ est la fonction sinus, qui est solution de $y''+y=0$ et positive sur le segment $[0;\pi]$ ce qui assure que $W'\ge 0$ sur ce segment, donc croissante sur ce segment d’où $W(\pi)\ge W(0)$...