A differential inequality

L’hypothèse assure que$\int_{0}^{\pi} [f''(x)+f(x)]\sin(x)dx\ge 0$ (a) car la fonction sinus est positive sur le segment $[0;\pi]$. Par double intégration par parties ($f$ et sinus sont de classe $C^{2}$) : on a l’égalité :$\int_{0}^{\pi} f''(x)\sin(x)dx=\int_{0}^{\pi}f(x)\sin''(x)dx+[f'\sin-f(\sin){'}]_{0}^{\pi}=-\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(x)dx+f(\pi)+f(0) (b)$

(a) et (b) donnent alors $f(\pi)+f(0)\ge 0$ (c). Il suffit d’appliquer (c) à la fonction $f_{x}, x\in \R$ définie par $\forall t\in \R, f_{x}(t):=f(x+t)$ : pour tout $x$, $f_{x}$ est bien de classe $C^{2}$ et vérifie l’inéquation $f_{x}''+f_{x}\ge 0$ et on a $\forall x, f_{x}(\pi)+f_{x}(0)=f(x+\pi)+f(x)$

:::Rem : on peut rédiger différemment en introduisant un ''wronskien'' adapté $W:=f'g-fg'$ où $g$ est la fonction sinus, qui est solution de $y''+y=0$ et positive sur le segment $[0;\pi]$ ce qui assure que $W'\ge 0$ sur ce segment, donc croissante sur ce segment d’où $W(\pi)\ge W(0)$...

Solution en vidéo : https://youtu.be/G1AnYv6XHG4

On pose $g=f+f''$ qui est, par définition une fonction positive. On veut exprimer $f$ en fonction de $g$ donc on va résoudre l’équation différentielle d’ordre $2$. Les solutions de l’équation homogène sont de la forme $\lambda \cos(x)+\mu\sin(x).$ pour déterminer une solution particulière de l’équation on fait une variation de la constante en cherchant une solution de la forme $f(x)=\lambda(x)\cos(x)+\mu(x)\sin(x)$ sous la contrainte $\lambda'(x)\cos(x)+\mu'(x)\sin(x)=0.$ On a alors $f''(x)=-\lambda'(x)\sin(x)+\mu'(x)\cos(x)-f(x)$ donc $f''(x)+f(x)=-\lambda'(x)\sin(x)+\mu'(x)\cos(x)=g(x).$ On a donc le système
$$\begin{array}{r}L_1\\L_2\end{array}\left\{\begin{array}{rl}\lambda'(x)\cos(x)+\mu'(x)\sin(x)&=0\\-\lambda'(x)\sin(x)+\mu'(x)\cos(x)&=g(x)\end{array}\right.$$On le résout en faisant $\cos(x)L_2+\sin(x)L_1$ qui donne $\mu'(x)=g(x)\cos(x)$ (on peut aussi utiliser le wronskien). De même $\lambda'(x)=-g'(x)\sin(x).$ On pose alors comme solution particulière
$$f_0(x)=-\cos(x)\displaystyle\int_0^x g(t)\sin(t)\,\mathrm{d}t+\sin(x)\int_0^x g(t)\cos(t)\,\mathrm{d}t$$L’ensemble des solutions de l’équation $f''+f=g$ est alors donné par
$$S=\left\{\lambda\cos(x)+\mu\sin(x)+f_0(x)\mid \lambda,\mu\in\mathbb{R}\right\}.$$En particulier, il existe $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ tels que
$$\forall x\in\mathbb{R}, f(x)=\lambda\cos(x)+\mu\sin(x)+\int_0^x g(t)\cos(t)\,\mathrm{d}t\sin(x)-\int_0^x g(t)\sin(t)\,\mathrm{d}t\cos(x).$$Puisque $\forall x\in\mathbb{R},\cos(x+\pi)=-\cos(x)$ et $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$ on a $\forall x\in\mathbb{R},$

$$f(x+\pi)+f(x)=-\cos(x)\int_0^{x+\pi}g(t)\sin(t)\,\mathrm{d}t+\sin(x)\int_0^{x+\pi}g(t)\cos(t)\,\mathrm{d}t+\cos(x)\int_0^x g(t)\sin(t)\,\mathrm{d}t-\sin(x)\int_0^x g(t)\cos(t)\,\mathrm{d}t$$$$\underbrace{=}_{\footnotesize\text{ Chasles}}-\cos(x)\int_x^{x+\pi}g(t)\sin(t)\,\mathrm{d}t+\sin(x)\int_x^{x+\pi}g(t)\cos(t)\,\mathrm{d}t =\int_x^{x+\pi}g(t)(\sin(x)\cos(t)-\cos(x)\sin(t))\,\mathrm{d}t$$$$=\int_x^{x+\pi}g(t)\sin(x-t)\,\mathrm{d}t\underbrace{=}_{u=x-t}\int_0^\pi g(u+\pi)\sin(u)\,\mathrm{d}u$$Puisque $\sin$ est positive sur $[0,\pi]$ et $g$ est à valeurs positives par hypothèse, on a $f(x)+f(x+\pi)$ comme intégrale d’une fonction positive.