Une matrice diagonalisable ?

La matrice est triangulaire supérieure. Ainsi ses seules valeurs propres réelles sont ses coefficients diagonaux. Ici, son spectre est réduit à {1}. Alors, si la matrice était diagonalisable, elle serait semblable à I’identité, donc égale à l’identité. Cependant, ce n’est pas le cas, donc la matrice n’est pas diagonalisable.

The only eigenvalue of this matrix is 1 (with algebraic multiplicity 2). So if it was diagonalizable, it would be similar to the identity matrix :

$$\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)=P\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) P^{-1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$$which is a contradiction.