Une permutation ambitieuse

Supposons par l’absurde qu’il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, on ait $\sigma(n)>n$.
Cela signifie donc que les antécédents de $1,\ldots,N$ sont tous inférieurs strictement à $N$.
Ils peuvent donc seulement être parmi $1,\ldots, N-1$. Mais par bijectivité, il faudrait $N$ antécédents, pas $N-1$. Contradiction.