Une permutation ambitieuse

Reviewed

Existe-t-il une permutation $\sigma$ de $\N$ tel qu’il n’existe qu’un nombre fini d’entiers $n$ vérifiant
$\sigma(n)\leq n\quad ?$

I solved itMark it done Add to my listKeep it in your list

I like this problem2 likes

Liked by

Sequoia@sequoia
SarahK(roche:)@sarah-k

Solutions

Reveal solutionsAre you sure? Give it a try first.

Solution by Ancient Tree

Discussions0 useful votes

Supposons par l’absurde qu’il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$ , on ait $\sigma(n)>n$ .
Cela signifie donc que les antécédents de $1,\ldots,N$ sont tous inférieurs strictement à $N$ .
Ils peuvent donc seulement être parmi $1,\ldots, N-1$ . Mais par bijectivité, il faudrait $N$ antécédents, pas $N-1$ . Contradiction.

Report