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Une petite fonction arithmétique toute simple

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Solution

Solution by budleya · FR

D’où vient ce $n^{2}$ ?
Lemme : pour tout $y>1$ , il y a $n$ entiers $a$ tels que $2^{a}\in ]\ y,2^{n}y\ ]$ .
Preuve : vraiment facile, j’ai la flemme, mais toute bonne volonté sera remerciée de la détailler (passer aux log p.ex.)

$G(3^{n})$ compte les $2^{a}3^{b}\le3^{n}$ ; reste à compter les $2^{a}3^{b}\in]3^n,6^n]$ qui vérifient donc $1<2^{a}3^{b-n}\le2^{n}$ . Distinguons :
i) ceux où $b\ge n$ : il y en a $G(2)-1$ (il manque $(a,b)=(0,n)$ ).
ii) pour chacune des $n$ valeurs de $b$ de 0 à $n-1$ , posons $y=3^{n-b}$ , reste à compter les $a$ tels que $2^{a}\in ]\ y,2^{n}y\ ]$ , il y en a $n$ d’après le lemme, donc $n^{2}$ couples $(a,b)$ :
$G(6^n)=G(3^{n})+G(2^{n})-1+n^{2}$

remarque : j’ai l’impression que 2 et 3 ne jouent aucun rôle dans cette argumentation, si bien que avec $1<u<v$ et $\displaystyle G(x)=\sum_{k=u^a v^b\leqslant x}1$ on aurait
$G\big((uv)^{n}\big)=G\big(v^{n}\big)+G(u^{n})+n^{2}-1$

mathmanbySep 17, 2026, 7:35 AMFR

c’est n’importe quoi la remarque finale !

budleyabySep 17, 2026, 11:35 PMFR · Edited

Oups, edit de coquille : $G(u^n)$ au lieu de $G(v^{n})$ ...
C’est bien possible qu’il y ait encore un problème mais peux-tu m’expliquer ce qui va coincer si on utilise par exemple 5, 11, 55 en lieu et place de 2, 3, 6 ?

mathmanbySep 18, 2026, 8:13 AMFR

bah enfin c’est immédiat...
si on reprend ta formule (après correction de ta coquille) qu’on peut alors réécrire $G(a^{n}b^{n})=G(a^{n})+G(b^{n})+ n^{2}-1$
et en prenant simplement $n=1$ alors on devrait avoir $G(ab)=G(a)+G(b)$ ce qui est faux dans le cas général puisque par
exemple: $G(12)=8$ et que $G(3)+G(4)=7$

budleyabySep 18, 2026, 9:58 AMFR · Edited

J’ai effectivement d’autres imprécisions (p.ex. edit $y>1,u>1...$ ), grr
La plus grosse étant que ce n’est plus la même fonction $G$ ! Je pensais à $\displaystyle G(x)=\sum_{k=u^a (u+v)^b\leqslant x}1$ évidemment... dans ton exemple du coup $G(12)=5, G(3)=2, G(4)=3$ et ça marche, car ma démo j’ai beau la lire et la relire, je ne vois pas où elle coince.
Allez, je réédite, et tu me dis ! Merci d’avance

Par ailleurs ta solution est magnifique ! Et ce n’est pas souvent qu’un exo d’énoncé arithmétique simple ait à la fois une solution "élémentaire" et une solution analytique ( il y a bien $p_{n}\sim n\ln n$ , mais c’est quand même moins simple ! )