Une petite fonction arithmétique toute simple

D’où vient ce $n^{2}$ ?
Lemme : pour tout $y>1$ , il y a $n$ entiers $a$ tels que $2^{a}\in ]\ y,2^{n}y\ ]$.
Preuve : vraiment facile, j’ai la flemme, mais toute bonne volonté sera remerciée de la détailler (passer aux log p.ex.)

$G(3^{n})$ compte les $2^{a}3^{b}\le3^{n}$ ; reste à compter les $2^{a}3^{b}\in]3^n,6^n]$ qui vérifient donc $1<2^{a}3^{b-n}\le2^{n}$. Distinguons :
i) ceux où $b\ge n$ : il y en a $G(2)-1$ (il manque $(a,b)=(0,n)$ ).
ii) pour chacune des $n$ valeurs de $b$ de 0 à $n-1$, posons $y=3^{n-b}$, reste à compter les $a$ tels que $2^{a}\in ]\ y,2^{n}y\ ]$, il y en a $n$ d’après le lemme, donc $n^{2}$ couples $(a,b)$ :
$$G(6^n)=G(3^{n})+G(2^{n})-1+n^{2}$$

remarque : j’ai l’impression que 2 et 3 ne jouent aucun rôle dans cette argumentation, si bien que avec $1<u<v$ et $\displaystyle G(x)=\sum_{k=u^a v^b\leqslant x}1$ on aurait
$$G\big((uv)^{n}\big)=G\big(v^{n}\big)+G(u^{n})+n^{2}-1$$

Tout d’abord, on prolonge la définition de $G$ à tout $x$ réel $\geq 0$ par $G(x)=G(\lfloor x \rfloor)$ et $G(0)=0$

$G$ est une fonction de comptage qui apparait de façon naturelle en écrivant avec $\alpha > 0$ :
$\displaystyle\frac{1}{(1-2^{-\alpha})(1-3^{-\alpha})}=\alpha \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{G(t)}{t^{\alpha+1}}dt$

en faisant quelques changements de variables on trouve:

$\displaystyle\frac{(1-2^{-\alpha n})(1-3^{-\alpha n})}{(1-2^{-\alpha})(1-3^{-\alpha})}=\alpha \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{G(t)-G(t/2^{n})-G(t/3^{n})+G(t/6^{n})}{t^{\alpha+1}}dt$

ainsi $G(t)-G(t/2^{n})-G(t/3^{n})+G(t/6^{n})$ est aussi une fonction de comptage (qui compte les diviseurs de $2^{n-1}3^{n-1}$ $\leq t$ ) et lorsque $t\geq 6^{n-1}$ ce nombre de diviseurs vaut $n^{2}$ .

En prenant $t=6^{n}$ on obtient $G(6^{n})-G(3^{n})-G(2^{n})+G(1)=n^{2}$