Une petite fonction arithmétique toute simple

Tout d’abord, on prolonge la définition de $G$ à tout $x$ réel $\geq 0$ par $G(x)=G(\lfloor x \rfloor)$ et $G(0)=0$

$G$ est une fonction de comptage qui apparait de façon naturelle en écrivant avec $\alpha > 0$ :
$\displaystyle\frac{1}{(1-2^{-\alpha})(1-3^{-\alpha})}=\alpha \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{G(t)}{t^{\alpha+1}}dt$

en faisant quelques changements de variables on trouve:

$\displaystyle\frac{(1-2^{-\alpha n})(1-3^{-\alpha n})}{(1-2^{-\alpha})(1-3^{-\alpha})}=\alpha \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{G(t)-G(t/2^{n})-G(t/3^{n})+G(t/6^{n})}{t^{\alpha+1}}dt$

ainsi $G(t)-G(t/2^{n})-G(t/3^{n})+G(t/6^{n})$ est aussi une fonction de comptage (qui compte les diviseurs de $2^{n-1}3^{n-1}$ $\leq t$ ) et lorsque $t\geq 6^{n-1}$ ce nombre de diviseurs vaut $n^{2}$ .

En prenant $t=6^{n}$ on obtient $G(6^{n})-G(3^{n})-G(2^{n})+G(1)=n^{2}$