Une propriété de la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle

Soit un triangle ABC. Nous allons montrer d’abord que la somme de $AB$ et $AC$ est supérieure à $BC$ : $\bf AB+AC>BC$.

Construisons le point $D$ sur la droite $(AB)$ tel que $AD=AC$. Le triangle ACD est donc isocèle en A. Il en découle qu’il y a égalité des mesures des angles $\widehat {ADC}$ et $\widehat {ACD}$ (pour démontrer ce point voir le problème Egalité des angles dans un triangle isocèle) : $\bf\widehat {ADC}=\widehat {ACD}$ (1).

Notons que $\widehat {ACD}$ est une partie de $\widehat {DCB}$ donc $\bf\widehat {DCB}>\widehat {ACD}$.

Cette inégalité couplée avec (1) nous donnera donc : $\bf\widehat {DCB}>\widehat {ADC}$. (2)

L’inégalité (2) entre les mesures des angles implique l’inégalité des côtés soutenant ces angles (pour la démonstration de ce point voir le problème Le plus grand angle d’un triangle est soutenu par son plus grand côté), soit : $\bf DB>BC$ (3).

Or $DB=AB+AD$, et comme AD=AC par hypothèse , on a aussi $DB=AB+AC$, donc avec (3) on a bien $\bf AB+AC>BC$, ce que nous voulions montrer.

On pourra démontrer avec la même démarche que n’importe laquelle des paires de deux côtés montrera cette même propriété d’avoir sa somme des longueurs supérieure à la longueur du troisième côté.