Egalité des angles dans un triangle isocèle

Soit un triangle $ABC$ isocèle en A, dont les côtés égaux $AB$ et $AC$ sont chacun prolongés jusqu’en D et E. Montrer à la règle et au compas collapsible que les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BCA}$ sont égaux, et que les angles $\widehat{CBD}$ et $\widehat{BCE}$ sont égaux

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Euclide — Éléments

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Livre 1

Proposition 5, théorème 2.

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Solution by goldfinch

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Construire le point $F$ tel que $AD=AF$ (pour le détail de cette opération voir le problème "Gymnastique géométrique, à la règle et au compas (2)".
Les 2 points F et D permettent de considérer deux nouveaux triangles $\widehat{ACD}$ et $\widehat{ABF}$ dont les bases $CD$ et $BF$ sont égales car les deux triangles ont le même angle en $A$ et les mêmes côtés issus de $A$ . De plus, il y a égalité des angles $ABF=ACD$ (1) , et des angles en $D$ et $E$ (pour le détail, voir le problème "Egalité de triangles").
Considérons maintenant deux autres triangles : $BDC$ et $BFC$ . Nous pouvons faire exactement le même raisonnement qu’au point 2 en considérant l’égalité des angles en $D$ et $F$ comme vu au point 2, et les égalités entre $BD$ et $CF$ par définition de F, et entre $BF$ et $CD$ comme vu au point 2; d’où l’on déduit l’égalité des deux autres angles : $\widehat{BCD}=\widehat{CBF}$ (2) et $\widehat{CBD}=\widehat{BCF}=\widehat{BCE}$ , cette dernière égalité étant le second point à démontrer
En utilisant les deux relations d’égalité des angles (1) et (2), on en déduit que $\widehat{ABC}=\widehat{BCA}$ , ce qui constitue le premier point qu’il fallait démontrer.

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