Une propriété géométrique intéressante du cercle

Soit $AC$ un diamètre d’un cercle quelconque, $B$ un point quelconque de ce cercle définissant ainsi un triangle $ABC$ inscrit dans le cercle, et $BD$ la hauteur issue de $B$ de ce triangle .
Montrez que la surface d’un carré de côté $BD$ est égale à la surface du rectangle de côtés $AD$ et $CD$ , autrement dit que :
$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{DC}$

Note : Pour les mathématiciens antiques, grecs et arabes, $BD$ a été appelé « moyenne proportionnelle » entre $AD$ et $DC$ .

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Cliquez et tirez sur le point B pour visualiser

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Solution by alouette

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Le triangle ABC , dont le côté AC est un diamètre du cercle, est donc inscrit dans le cercle. Le triangle ABC est ainsi rectangle en B.

Par suite, la hauteur BD coupe le triangle ABC en deux petits triangles ABD et et BDC qui sont semblables (ce sont donc des versions réduites ou agrandies l’une de l’autre, de même forme).
Deux triangles semblables ont des angles au sommet identiques, en particulier l’angle BAD est égal à l’angle CBD, et l’angle ABD est égal à l’angle BCD.

Une propriété des triangles semblables est celle de l’égalité des rapports entre le moyen côté et le petit côté. Calculons ces rapports . Pour le triangle ABD, le rapport vaut $AD/BD$ . Pour le petit triangle, il vaut $BD/DC$ .
Ainsi on a bien : $AD/BD=BD/DC$ .

Une autre écriture de cette relation : $BD\times BD=AD\times DC$ démontre l’égalité des surfaces du carré de côté BD et du rectangle de longueur AD et de largeur DC.

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