Une résolution géométrique de l’équation $x^3+a\cdot x=b$

Cette méthode de résolution géométrique de l’équation $x^3+a\cdot x=b$ est inspirée de la méthode d’Omar Khayyam, mathématicien persan du XIème siècle. L’esprit de sa démarche a été respecté mais il a été transposé en langage mathématique moderne.

Soit d’une part $AC$ un diamètre de cercle, $B$ un point quelconque de ce cercle définissant ainsi un triangle $ABC$ inscrit dans le cercle, et $BD$ la hauteur issue de $B$ de ce triangle.

Soit d’autre part, une parabole de sommet $A$, d’axe de symétrie $D2$, de directrice $D1$, de paramètre $p$ et de foyer $F$. Rappelons qu’une parabole est une courbe dont les points sont exactement ceux situés à égale distance de la directrice et du foyer. Autrement dit, tout point $M$ de la parabole $MH=MF$.

Soit enfin $G$ un point tel que $A,F$ et $G$ soient alignés dans cet ordre et tel que $AG=4\,AF$.

1. Montrer que la relation $AD/BD= BD/DC$ est valide.
   NB : cette question a fait l’objet du problème "une propriété géométrique intéressante du cercle").

2. Montrer maintenant la relation $AG/AD=AD/AE$.
   NB : cette question a fait l’objet du problème "une propriété géométrique intéressante de la parabole" ).

Repositionnons maintenant B tel qu’il appartienne à la fois au cercle et à la parabole.
Posons $AD=x$ et $BD=AE=y$.

3. Montrer que $AD$ est racine d’une équation du troisième degré de la forme $X^3+a\cdot X=b$. On explicitera $a$ et $b$ en fonction des paramètres du cercle et de la parabole.

4. Application numérique: Déterminer une approximation à deux décimales de la solution de $X^3+4\cdot X=8$ donnée par la méthode précédente.
   
   Sur ce schéma, le nombre $p$ est égal à la distance $AF$ pour simplifier les notations.

Pour finir, une petite pensée émue pour Omar Khayyam , ce génie mathématique qui construisait ce type d’outil géométrique de résolution d’équations du troisième degré sans posséder tout l’outillage analytique moderne qui n’est venu que bien plus tard (écriture algébrique, définition de la parabole avec directrice et foyer, etc....)