Eigenvalues of orthogonal matrices

The only possible modulus is 1.

Indeed, an eigenvalue is bounded above by any sub-multiplicative norm. But the subordinate to the euclidean norm of such a matrix is 1 so we have that |a|<=1 for such an eigenvalue. Yet, 1/a is an eigenvalue of the inverse of the orthogonal matrix, which is also orthogonal, hence |1/a|<=1 and |a|>=1.

Conversely, the following matrix is orthogonal and has e^ix as an eigenvalue :
$$\begin{pmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{pmatrix}$$

Toutes les valeurs propres complexes d’une matrice orthogonale sont de module $1$.

Soit $A\in\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$, c’est-à-dire $A^{\mathsf T}A=I_n$. On travaille dans $\mathbb{C}^{n}$, muni du produit hermitien $\langle x,y\rangle=\overline{x}^{\mathsf T}y$.
Soit $\lambda\in\mathbb{C}$ une valeur propre de $A$ et $x\in\mathbb{C}^{n}\setminus\{0\}$ un vecteur propre associé. Alors
$$\|x\|^{2}=\overline{x}^{\mathsf T}x=\overline{x}^{\mathsf T}A^{*}Ax=\overline{(Ax)}^{\mathsf T}(Ax)=\|Ax\|^{2}=\|\lambda x\|^{2}=|\lambda|^{2}\|x\|^{2}.$$Comme $x\neq 0$, on a $\|x\|^{2}>0$ et l’on peut simplifier. Ainsi $|\lambda|^{2}=1$, donc $|\lambda|=1$.