Valeurs propres d’une matrice nilpotente

D’une part, $A$ est nilpotente d’indice $p$ , donc $A^{p} = 0$ donc $A^{p} X = 0X = 0$.

D’autre part, on montre par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}, A^{n}X = \lambda^{n} X$.
En effet : $A^{0} X = X = \lambda^{0} X$ . Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $A^{n} X = \lambda^{n}X$ donc
$$A^{n+1} = A A^{n} = A(\lambda^{n}X) = \lambda^{n} AX = \lambda^{n} \lambda X = \lambda^{n+1} X.$$

En particulier $A^{p} X= \lambda^{p} X$.
Donc $\lambda^{p} X = 0$.
Comme $X \ne 0$, $\lambda^{p} = 0$ et plus simplement $\lambda = 0$.