Valeurs propres d'une matrice nilpotente

Valeurs propres d’une matrice nilpotente

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Soit $A$ une matrice nilpotente de taille $n$ et d’indice de nilpotence $p$ .
Soit un complexe $\lambda$ tel qu’il existe un vecteur $X\neq0$ tel que $AX=\lambda X$ .

Calculer $A^pX$ de deux manières. En déduire que $\lambda=0$ .

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Solution by darktoaster

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D’une part, $A$ est nilpotente d’indice $p$ , donc $A^{p} = 0$ donc $A^{p} X = 0X = 0$ .

D’autre part, on montre par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}, A^{n}X = \lambda^{n} X$ .
En effet : $A^{0} X = X = \lambda^{0} X$ . Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $A^{n} X = \lambda^{n}X$ donc
$A^{n+1} = A A^{n} = A(\lambda^{n}X) = \lambda^{n} AX = \lambda^{n} \lambda X = \lambda^{n+1} X.$

En particulier $A^{p} X= \lambda^{p} X$ .
Donc $\lambda^{p} X = 0$ .
Comme $X \ne 0$ , $\lambda^{p} = 0$ et plus simplement $\lambda = 0$ .

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