Par définition, une matrice $M \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})$ est dite positive (resp. définie positive) si et seulement si $X^{T}MX$ est positif (resp. strictement positif) pour tout $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\setminus \{0\}$.

Première implication

Supposons que $A$ est positive (resp. définie positive), montrons que les valeurs propres de $A$ sont toutes positives (resp. strictement positives)

Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$. Montrons qu’elle est positive (resp. strictement positive).

Soit $X$ un vecteur propre de $A$ associé à $\lambda$. On a $AX = \lambda X$ et $X \ne 0$

$X^{T}AX = X^{T}\lambda X = \lambda X^{T}X = \lambda ||X||^{2}$

$\lambda = \frac{X^{T}AX}{||X||^{2}}$ car $||X||^{2} \ne 0$ par séparation de la norme

$X^{T}AX$ est positif (resp. strictement positif) car $A$ est postive (resp. définie positive) et $||X||^{2} >0$ par positivité et séparation de la norme.

Donc $\lambda$ est positif (resp. strictement positif).

Implication réciproque

Supposons réciproquement que toute valeur propre de $A$ est positive (resp. strictement positive), montrons que $A$ est positive (resp. définie positive).

Soit $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\setminus \{0\}$. Montrons que $X^{T} AX$ est positif (resp. strictement positif)

$A \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})$ donc est orthodiagonalisable dans $\mathbb{R}$ par le théorème spectral pour les endomorphismes auto-adjoints. Ils existent donc $P \in \mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$ et $D$ diagonale dont ses coefficients sont les valeurs propres de $A$ que l’on note $\lambda_{i}$ ($i \in [\![ 1, n]\!]$) telles que $A = P^{T}DP$.

En posant $Y = PX$ et par propriété de la transposée :
$X^{T} A X = X^{T}P^{T}DPX = (PX)^{T} D PX = Y^{T}DY$

Par produit matriciel : $Y^{T} D Y = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_{i} y_{i}^{2}$ en notant $y_{i}$ ($i \in [\![ 1,n]\!]$) les coefficients de $Y$.

• Pour le cas où le spectre de $A$ est positif : $X^{T} A X \ge 0$ car $X^{T} AX$ est égal à une somme de termes positifs car pour tout $i \in [\![1,n]\!]$, $\lambda_{i}$ est positif (spectre positif) et $y_{i}^{2}$ aussi (carré d’un réel).
• Pour le cas où le spectre de $A$ est strictement positif : $Y \ne 0$ car sinon $X = P^{-1} Y$ serait nul or $X \ne 0$, ce qui veut dire qu’il existe un $j \in [\![1,n]\!]$ tel que $y_{j} \ne 0$ ainsi $\lambda_{j} y_{j}^{2}>0$ . De plus $\forall i \in [\![1,n]\!]\setminus \{j\}, \lambda_{i} y_{i}^{2} \ge 0$. Donc $X^{T}AX > 0$ comme somme de termes positifs dont un des termes l’est strictement.